Palaan ajatuksissani usein aiheisiin, joita olen miettinyt ja pohtinut ihan tekstiksi asti. Niinpä useita tämänkin blogin kirjoituksia olen repostellut jälkeenpäin, ja monia tekisi mieli korjailla ja täydentää, mutta joskus on hyvä jättää itsellekin dokumenttia siitä, mitä kirjoitusajankohtana asiasta on ajatellut. Nyt palaan aiheeseen, jota täällä en ole vielä käsitellyt, mutta jonka parissa askartelin tiiviisti noin 50 vuotta sitten, nimittäin matematiikan filosofian kysymyksiin. Olen viime päivinä asiaa pohdiskellut ja luin oman tekstini noilta opiskeluajoilta. Ajatteluni lähtökohdat ovat noista ajoista jonkin verran muuttuneet, mutta tekstissä oli yllättävän paljon sellaista, joka vielä kelpaisi johdannoksi tänäänkin. En taida niitä kuitenkaan tässä suuremmin toistaa. Peruskysymyksiin voi mennä suorempaakin tietä.
Yksi motiivi pohdiskelun uudelleen viriämiselle on tullut Youtuben tarjoamista videoista, joissa tiukkailmeiset nuoret miehet ja naiset sanovat, mitä matematiikan käsitteet ja oliot oikeasti tarkoittavat, mikä on imaginaariluvun i todellinen merkitys tai onko Hilbertin avaruus todellinen jne. Ja olen katsonut kiinnostuneena erään kuuluisan eurooppalaisen yliopiston matematiikan luentoja, joissa opettaja sanoo, että se mitä he täällä sanovat on totta ja se, mitä koulussa on opetettu, on jotain sinne päin. Voi aivan aistia, miten lumoutuneesti opettajat suhtautuvat aiheeseensa, kun se paljastaa fantastisia yhteyksiä erilaisten matemaattisten entiteettien välillä. (Käytän tässä termiä ’entiteetti’, kun haluan välttää ottamasta kantaa olioiden ontologiaan.) Ihan pitää ihmetellä, onko Googlella kyky lukea ajatuksia, kun juuri sain katseltavaksi videon, jossa EJ Falconi kertoi matematiikan filosofian suuntauksesta nimeltä fiktionalismi. Termi oli minulle uusi enkä tiedä sille suomenkielistä sanaa, se on nominalismin eräs suunta. Siinä vastataan aika radikaalilla tavalla peruskysymykseen matematiikan olioiden olemassaolosta.
Matematiikan tutkijoiden keskuudessa ilmeisesti vallitseva käsitys matematiikan väitteiden käsittelemistä objekteista heijastelee Platonin ideaoppia, jonka mukaan matematiikan käsitteet viittaavat objektiivisesti olemassa oleviin asioihin jossain ideoiden maailmassa. Nominalismin mukaan matematiikan termit ovat vain symboleja, joiden avulla voidaan käsitellä reaalimaailman asioita. Fiktionalismi haluaa korostaa tätä sanomalla, että matematiikan oliot ovat fiktioita. (Nyt pitäisi lukea Harry Fieldsin kirja ’Science without numbers, johon Falconi viittaa, ehkä tulevaisuudessa luen.) Platonista käsitystä pitää yllä vuosisatainen perinne, joka on välittänyt matematiikan tulokset sukupolvelta toiselle annettuna, todistettuna totuutena. Matematiikan historiaa opiskelijoille ei opeteta (minulle aikanaan yliopiston matematiikan opettaja sanoi, että se ei ole matematiikkaa). Historia paljastaisi kuitenkin, että matematiikan käsitteitä on jouduttu hakemaan moninaisten pohdintojen kautta. Matemaatikot ovat lumoutuneet noista karttuneista ja karttuvista tuloksista eikä siinä kaivata mitään filosofista ymmärrystä matematiikasta tieteenalana. Matematiikan lumovoima voi olla niin suurta, että voi ajatella matematiikan ratkaisevan kaikki ongelmat. Eräs matemaatikko kirjoitti mielipidesivulla voivansa äänestää sellaista ehdokasta, joka ymmärtää matematiikkaa, oliko se nyt kunnallisvaaleissa vai eduskuntavaaleissa, en muista.
Platonista ajatusmallia pönkitti 1800-luvulla kehitetty joukko-oppi, jonka mukaan esimerkiksi luonnolliset luvut määriteltiin joukkojen ekvivalenssiluokkina, joissa joukoilla on yhtä monta alkiota (siis samaan luokkaan kuuluvilla joukoilla 1-1 -vastaavuus). Joukko-oppia matemaatikot eivät ehkä nykyään ota kovin vakavasti. Eräs joukko-opin ajatusnyrjähdys tuli vastaani 50 vuotta sitten, kun luin sittemmin kuuluisaksi tulleen suomalaisen filosofin esityksen Kantin matematiikan filosofiasta. Kant havainnollisti luonnollisten lukujen yhteenlaskua esimerkillä 5+7 niin, että otetaan yhteenlaskettavista pienempi, 5, ja piirretään sitä vastaamaan viisi viivaa. Sitten jatketaan laskemista luvusta 7 eteenpäin viiva kerrallaan ja saadaan 12. Tuo filosofi ajatteli, että Kantille oli sattunut lapsus ja olisi pitänyt esittää luku 7 myös viivoilla. Tämä esimerkki näyttää, että Kant ymmärsi lukukäsitteen paremmin. Joukko-opin omituisuudet käyvät ilmeisiksi, kun tarkastellaan äärettömiä joukkoja ja niiden mahtavuutta. Jos joukkojen yhtäsuuruus määritellään 1-1 -vastaavuudella, niin silloin esimerkiksi avoimen välillä (0, 1) on reaalilukuja yhtä paljon kun välillä (1, ∞). En jää pohtimaan tätä.
Matematiikan tutkijoille olemassaolokysymys ei liene ongelma, paitsi jos on kysymyksessä matemaattinen ongelma (tyyliin: onko olemassa alkulukua, joka…). Niille, jotka eivät ole lumoutuneet matematiikan tuloksista, on usein aiheuttanut päänvaivaa esimerkiksi se, että he eivät ”ymmärrä”, mikä luku se i on, missä se on. Tämä on vaivannut monia sukupolvia. Olen periaatteessa samalla linjalla noiden fiktionalismin kannattajien kanssa suhteessa platonismiin, mutta termi fiktio sopii filosofiseen keskusteluun huonosti ja oikeastaan vääntää ajatuksia väärään kontekstiin. Matematiikkaa ei kannata samaistaa millään tasolla Teräsmieheen tai Harry Potteriin. Matematiikan käsittelemien entiteettien olemassaoloa ei voi kysyä samalla tavalla kuin fyysisen maailman asioiden olemassaoloa. Jos olemassaolokysymys koskien matemaattisten entiteettien olemista yleensä sivuutetaan, niin siihen ei tarvitse keksiä sellaista vastausta, että ne ovat fiktioita.
Matematiikka koostuu käsitejärjestelmistä, sen entiteetit ovat käsitteitä, joiden ominaisuudet määritellään kunkin järjestelmän aksioomien tai perusolettamusten kautta. Ne ovat sitä, miten ne on määritelty, eivätkä viittaa mihinkään muuhun. Kutakin käsitejärjestelmää voi sitten käyttää teoreettisena mallina, kun käsitellään empiirisen maailman asioita. Ne ovat ”olemassa” samoin kuin shakkipeli on olemassa sääntöjensä kautta. Konkreettisia shakkipelejä voi tietenkin ostaa kaupasta, mutta niin voi ostaa myös helmitauluja. Shakkipelin periaatteita ei vain saata soveltaa muihin asioihin niin kuin matematiikkaa. Niinpä voin antaa matematiikan opintoja aloittaville nuorille sellaisen ohjeen, että älkää liikaa vaivatko päätänne sillä mitä matematiikan oliot todella ovat; katsokaa vain miten ne on määritelty ja miten niitä käytetään matemaattisissa operaatioissa. Jos tässä lumous särkyy ja se kirpaisee pahasti, niin voi harkita jotain muuta opinalaa. Itse vaihdoin alaa myöhemmällä iällä.